已知函数f(x)=(x-k)ex,(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值。
题型:北京高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=(x-k)ex, (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值。 |
答案
解:(Ⅰ), 令f′(x)=0,得x=k-1, f(x)与f′(x)的情况如下:
所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞)。 (Ⅱ)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当0<k-1<1,即1<k<2时,由(Ⅰ)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为; 当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为。 |
举一反三
设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性。 |
已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)是f(x),g(x)的导函数,若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致, (1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围; (2)设a<0且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值。 |
设函数(a∈R)。 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k。问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。 |
设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0 (1)求f(x)的单调区间; (2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立。注:e为自然对数的底数 |
设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R, (Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1。 |
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