已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)是f(x),g(x)的导函数,若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立
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已知a,b是实数,函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)是f(x),g(x)的导函数,若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立
题型:江苏高考真题
难度:
来源:
已知a,b是实数,函数f(x)=x
3
+ax,g(x)=x
2
+bx,f′(x)和g′(x)是f(x),g(x)的导函数,若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致,
(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;
(2)设a<0且a≠b,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值。
答案
解:(1)因为函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,
所以
,
即
,
∵a>0,
∴
,
即∵a>0,
∴
,
∴b≥2;
(2)当b<a时,因为函数f(x)和g(x)在区间(b,a)上单调性一致,
所以,
,
即
,
,
∴
,
∴
,
∴
,
设z=a-b,考虑点(b,a)的可行域,函数
的斜率为1的切线的切点设为
,
则
,
∴
;
当a<b<0时,因为函数f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性一致,
所以
,
即
,
∵b<0,∴
,
∴
,∴
,
∴
,∴
;
当a<0<b时,因为函数f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性一致,
所以
,
即
,
∵b>0,而x=0时,
不符合题意;
当a<0=b时,由题意:
,
∴
,∴
,
∴
,∴
;
综上可知,
。
举一反三
设函数
(a∈R)。
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x
1
,x
2
,记过点A(x
1
,f(x
1
)),B(x
2
,f(x
2
))的直线斜率为k。问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。
题型:湖南省高考真题
难度:
|
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设函数f(x)=a
2
lnx-x
2
+ax,a>0
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e
2
对x∈[1,e]恒成立。注:e为自然对数的底数
题型:浙江省高考真题
难度:
|
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设a为实数,函数f(x)=e
x
-2x+2a,x∈R,
(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值;
(Ⅱ)求证:当a>ln2-1且x>0时,e
x
>x
2
-2ax+1。
题型:安徽省高考真题
难度:
|
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设函数f(x)=e
x
-1-x -ax
2
。
(1)若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围。
题型:高考真题
难度:
|
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已知函数f(x)= xe
-x
(x∈R)。
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,f(x)>g(x);
(3)如果x
1
≠x
2
,且f(x
1
)=f(x
2
),证明x
1
+x
2
>2。
题型:天津高考真题
难度:
|
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