设函数f（x）=ex-1-x -ax2。（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围。

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设函数f（x）=e^x-1-x -ax²^。（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围。

答案

解：（1）a=0时，f（x）=e^x-1-x，f"（x）=e^x-1
当x∈（-∞，0）时，f"（x）<0；当x∈（0，+∞）时，f"（x）>0
故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加；
（2）f "（x）=e^x-1-2ax
由（1）知e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立
故f"（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即

时，f"（x）≥0（x≥0），而f（0）= 0，
于是当x≥0时，f（x）≥0
由e^x>1+x（x≠0）可得e^-x>1-x（x≠0）
从而当a>

时，f"（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f"（x）<0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）<0
综合得a的取值范围为

。

举一反三

已知函数f（x）= xe^-x（x∈R）。
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f（x）>g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂>2。

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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax²+1，
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a＜-1，如果对任意x₁，x₂∈(0，+∞)，|f(x₁)-f(x₂)|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围。

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已知函数f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中x∈R。
（1）设函数p（x）=f（x）+g（x）。若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；
（2）设函数

，否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q"（x₂）=q"（x₁）成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由。

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设f（x）是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈(1，+∞)都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x²-ax+1），则称函数f(x)具有性质P（a），
(Ⅰ)设函数

，其中b为实数，
(ⅰ)求证：函数f（x）具有性质P(b)；
(ⅱ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知函数g（x）具有性质P(2)。给定x₁，x₂∈(1，+∞)，x₁＜x₂，设m为实数，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α) -g(β)|＜|g(x₁)-g(x₂)|，求m的取值范围。

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已知函数f(x)=lnx-ax+

-1(a∈R），
(Ⅰ)当a≤

时，讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)设g(x)=x²-2bx+4，当a=

时，若对任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈[1，2]，使f(x₁)≥g(x₂)，求实数b的取值范围。

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