已知函数f(x)= xe-x(x∈R)。 (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证
题型:天津高考真题难度:来源:
已知函数f(x)= xe-x(x∈R)。 (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时,f(x)>g(x); (3)如果x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x2>2。 |
答案
解:(1)f"(x)=(1-x)e-x 令f"(x)=0,解得x=1 当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)在(-∞,1)内是增函数,在(1,+∞)内是减函数 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且。 (2)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2 令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe-x+(x -2)ex-2 于是F"(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x, 当x>1时,2x-2>0,从而e2x-2-1 >0 又e-x>0, 所以F"(x)>0 从而函数F(x)在[1,+∞)上是增函数 又F(1)=e-1-e-1=0, 所以x>1时,有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x)。 (3)①若(x1-1)(x2-1)=0,由(1)及f(x1)= f(x2),得x1=x2=1,与x1≠x2矛盾 ②若(x1-1)(x2-1)>0,由(1)及f(x1)=f(x2),得x1=x2,与x1≠x2矛盾 根据①②得(x1-1)(x2-1)<0 不妨设x1<1,x2>1 由(2)可知,f(x2)>g(x2),g(x2)=f(2-x2), 所以f(x2)>f(2 -x2), 从而f(x1)>f(2-x2) 因为x2>1, 所以2-x2<1 又由(1)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内是增函数, 所以x1>2-x2,即x1+x2>2。 |
举一反三
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1, (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a<-1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中x∈R。 (1)设函数p(x)=f(x)+g(x)。若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围; (2)设函数,否存在k,对任意给定的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得q"(x2)=q"(x1)成立?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由。 |
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f′(x),如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a), (Ⅰ)设函数,其中b为实数, (ⅰ)求证:函数f(x)具有性质P(b); (ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α) -g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围。 |
已知函数f(x)=lnx-ax+-1(a∈R), (Ⅰ)当a≤时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4,当a=时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R (1)讨论函数f(x)的单调区间; (2)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。 |
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