已知函数.(1)求的单调区间;(2)设,若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.

已知函数.(1)求的单调区间;(2)设,若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.

题型:不详难度:来源:
已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设,若对任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
答案
(1)当时,的单调增区间为.当时,函数的单调递增区间为,单调递区间为     (2)
解析
(1)对函数求导,令导函数大于(小于)0,得函数的增(减)区间,注意函数的定义域和的讨论;(2)要使任意,总存在,使得,只需的最大值易求得是1,结合(1)得函数最大值为,解不等式得范围
(1)………………2分
时,由于,故,故
所以,的单调递增区间为……………3分
时,由,得.在区间上,,在区间所以,函数的单调递增区为,单调递减区间为……5分
所以,当时,的单调增区间为.当时,函数的单调递增区间为,单调递区间为
(2)由已知,转化为.由已知可知……………8分
由(1)知,当时,上单调递增,值域为,故不符合题意.
(或者举出反例:存在,故不符合题意)…………………9分
时,上单调递增,在上单调递减,
的极大值即为最大值,
所以,解得
举一反三
已知函数().
(1)若,求函数的极值;
(2)若内为单调增函数,求实数a的取值范围;
(3)对于,求证:.
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函数在区间上的值域为(   )
A.[-2,0 ]B.[-4,1]C.[-4,0 ]D.[-2, 9]

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函数的极值点的个数是(     ).
A.0B.1C.2D.3

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已知非零向量满足:,若函数上有极值,设向量的夹角为,则的取值范围为(   )
A.[B.C.D.

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(本小题满分12分)
已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线斜率为,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数的单调区间;
(3)若函数上是减函数,求实数的取值范围.
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