已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t )ex,(t∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数y=f(x)有三个极值点,求t的取值范围;(Ⅱ)若存在实数t∈[

已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t )ex,(t∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数y=f(x)有三个极值点,求t的取值范围;(Ⅱ)若存在实数t∈[

题型:许昌三模难度:来源:
已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t )ex,(t∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若函数y=f(x)有三个极值点,求t的取值范围;
(Ⅱ)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整数m的最大值.
答案
(I)f′(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex
∵f(x)有三个极值点,∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根,
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减,
∵g(x)有三个零点,





g(-1)>0
g(3)<0

∴-8<t<24…(4分)
(II)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立.
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立…(6分)
设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ(x)=-g-x-2x+6.
设r(x)=φ(x)=-g-x-2x+6,则r′(x)=g-x-2,因为1≤x≤m,有r′(x)<0.
故r(x)在区间[1,m]上是减函数…(8分)
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0.
当1≤x<x0时,有φ′(x)>0,当x>x0时,有φ′(x)<0.
从而y=φ(x)在区间[1,x0)上递增,在区间(x0,+∞)上递减…(10分)
又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0
φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0
所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;当x≥6时,恒有φ(x)<0;
故使命题成立的正整数m的最大值为5.…(12分)
举一反三
已知曲线f(x)=lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为(  )
A.
1
e
B.e2C.eD.10
题型:海淀区一模难度:| 查看答案
曲线y=
sinx
sinx+cosx
-
1
2
在点M=(
π
4
,0)
处的切线方程是(  )
A.y=-
1
2
(x-
π
4
)
B.y=
1
2
(x-
π
4
)
C.y=-


2
2
(x-
π
4
)
D.y=


2
2
(x-
π
4
)
题型:广元一模难度:| 查看答案
f(x)=
2
3
x3-2x+m(-
4
3
≤m≤
4
3
)

(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)求方程f(x)=0的实数解的个数.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线C:f(x)=x+
a
x
(a>0)
,直线l:y=x,在曲线C上有一个动点P,过点P分别作直线l和y轴的垂线,垂足分别为A,B.再过点P作曲线C的切线,分别与直线l和y轴相交于点M,N,O是坐标原点.若△ABP的面积为
1
2
,则△OMN的面积为______.
题型:徐州三模难度:| 查看答案
若直线l是曲线C:y=
1
3
x3+x+1
斜率最小的切线,则直线l与圆x2+y2=
1
2
的位置关系为______.
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.