已知函数f(x)=x-12a(x-1)2-lnx,其中a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)若∀x>0,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=x-12a(x-1)2-lnx,其中a∈R.(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;(2)若∀x>0,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=x-
1
2
a(x-1
)
2
-lnx
,其中a∈R.
(1)若x=2是f(x)的极值点,求a的值;
(2)若∀x>0,f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)
f
/
(x)=1-a(x-1)-
1
x
,
因为x=2是f(x)的极值点,所以f′(2)=0,
即
1-a(2-1)-
1
2
=0
解得
a=
1
2
;
(2)依题意
x-
1
2
a(x-1
)
2
-lnx≥1
,即a(x-1)
2
≤2(x-1-lnx),x>0,
①当x=1时,a(x-1)
2
≤2(x-1-lnx)恒成立,a∈R;
②当x>0且x≠1时,由a(x-1)
2
≤2(x-1-lnx),得
a≤
2(x-1-lnx)
(x-1
)
2
,
设g(x)=x-1-lnx,x>0,g′(x)=1-
1
x
,
当0<x<1时,g′(x)<0,当x>1时g′(x)>0,
所以∀x>0,g(x)≥g(1)=0,
所以,当x>0且x≠1时,
2(x-1-lnx)
(x-1
)
2
>0,从而a≤0,
综上所述,a的取值范围为(-∞,0].
举一反三
曲线y=2x
2
在点P(1,2)处的切线方程是( )
A.4x-y-2=0
B.4x+y-2=O
C.4x+y+2=O
D.4x-y+2=0
题型:不详
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|
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已知函数f(x)=lnx+ax
2
+bx
(1)若曲线y=f(x),在点(1,f(1))处的切线与圆x
2
+y
2
=1相切,求b取值范围;
(2)若2a+b+1=0,讨论函数的单调性;
(3)证明:2+
3
2
2
+
4
3
2
+…
n+1
n
2
>1n(n+1)(n∈N
*
)
题型:不详
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|
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已知函数,f(x)=x,
g(x)=
3
8
x
2
+lnx+2
.
(Ⅰ) 求函数F(x)=g(x)-2•f(x)的极大值点与极小值点;
(Ⅱ) 若函数F(x)=g(x)-2•f(x)在[e
t
,+∞)(t∈Z)上有零点,求t的最大值(e为自然对数的底数);
(Ⅲ) 设
b
n
=f(n
)
1
f(n+1)
(n∈N
*
),试问数列{b
n
}中是否存在相等的两项?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知:二次函数f(x)=ax
2
+bx+1,其中a,b∈R,g(x)=ln(ex),且函数F(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极值.
(I)求a,b所满足的关系;
(II)若直线l:y=kx(k∈R)与函数y=f(x)在x∈[1,2]上的图象恒有公共点,求k的最小值;
(III)试判断是否存在a∈(-2,0)∪(0,2),使得对任意的x∈[1,2],不等式(x+a)F(x)≥0恒成立?如果存在,请求出符合条件的a的所有值;如果不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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与直线y=4x-1平行的曲线y=x
3
+x-2的切线方程是( )
A.4x-y=0
B.4x-y-4=0
C.4x-y-2=0
D.4x-y=0或4x-y-4=0
题型:不详
难度:
|
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