(Ⅰ)由题知:F(x)=x2+lnx+2-2x的定义域为(0,+∞) ∵F′(x)= ∴函数F(x)的单调递增区间为(0,]和[2,+∞),F(x)的单调递减区间为[,2], 所以x=为F(x)的极大值点,x=2为F(x)的极小值点. (Ⅱ)∵F(x)在x∈[,+∞)上的最小值为F(2) 且F(2)=×22-4+2+ln2=ln2-=>0 ∴F(x)在x∈[,+∞)上没有零点, ∴函数F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,并考虑到F(x)在(0,]单调递增且在[,2]单调递减,故只须et<且F(et)≤0即可,易验证F(e-1)=•e-2+1-2e-1>0,F(e-2)=•e-4+lne-2+2-2e-2=(•e-2-2)<0,当t≤-2且t∈Z时均有F(et)<0,所以函数F(x)在[et,e-1)(t∈Z)上有零点, 即函数F(x)在[et,+∞)(t∈Z)上有零点,∴t的最大值为-2. (Ⅲ)利用导数易证,当x>0时,所以(1+x)<e. 因为bn=n,所以(bn+1)(n+1)(n+2 | (bn)(n+1)(n+2) | ==•(1+)n<< 令<1,得:n2-3n-3>0,结合n∈N*得:n≥4 因此,当n≥4时,有(bn+1)(n+1)(n+2) | (bn)(n+1)(n+2) | <1, 所以当n≥4时,bn>bn+1,即:b4>b5>b6>…, 又通过比较b1、b2、b3、b4的大小知:b1<b2<b3<b4, 因为b1=1,且n≠1时bn=n≠1,所以若数列{bn}中存在相等的两项,只能是b2、b3与后面的项可能相等,又b2=2=8=b8,b3=3>b5=5,所以数列{bn}中存在唯一相等的两项, 即:b2=b8. |