已知函数f(x)=x3-3a2x+b(a,b∈R)在x=2处的切线方程为y=9x-14.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令函数g(x)=x2-2x+k①若存

已知函数f(x)=x3-3a2x+b(a,b∈R)在x=2处的切线方程为y=9x-14.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令函数g(x)=x2-2x+k①若存

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3-3a2x+b(a,b∈R)在x=2处的切线方程为y=9x-14.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令函数g(x)=x2-2x+k
①若存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)能成立,求实数k的取值范围;
②设函数y=g(x)的图象与直线x=2交于点P,试问:过点P是否可作曲线y=f(x)的三条切线?若可以,求出k的取值范围;若不可以,则说明理由.
答案
(1)f′(x)=3x2-3a2由f(x)在x=2处的切线方程为y=9x-14
所以





f(2)=9
f(2)=4





12-3a2=9
8-6a2+b=4





a2=1
b=2
故f(x)=x3-3x+2.
(2)①令f′(x)=0即3x2-3=0得x=±1
所以当x∈[0,1]时,有f′(x)<0,此时f(x)递减
当x∈(1,2]时,有f′(x)>0,此时f(x)递增
又因为f(0)=2,f(2)=4,有f(0)<f(2)
所以f(x)max=f(2)=4又知g(x)min=g(1)=1-2+k=k-1
因为存在x1,x2∈[0,2],使得f(x1)≥g(x2)成立 所以有f(x)max≥g(x)min
得:4≥k-1即k≤5
所以实数k的取值范围是(-∞,5].
②由题意知P(2,k)
设切点坐标为(x0,y0),则有y0=x03-3x0+2又切线的斜率为3x02-3
所以其切线方程为:y-(x03-3x0+2)=(3x02-3)(x-x0
因为切线过点P,故有k-(x03-3x0+2)=(3x02-3)(2-x0
即k=-2x03+6x02-4因为过点P可以作曲线f(x)的三条切线
所以方程k=-2x03+6x02-4有三个不同的实数解
令h(x)=-2x3+6x2-4
则由h′(x)=-6x2+12x=0得x=0,x=2
当x∈(-∞,0),(2,+∞)时,有h′(x)<0,此时h(x)递减
当x∈(0,2)时,有h′(x)>0,此时h(x)递增
所以h(x)极大=h(2)=4,h(x)极小=h(0)=-4
所以-4<k<4
故k的取值范围是(-4,4)
举一反三
曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为______.
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已知函数f(x)=ax3-x,其中a≤
1
3

(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)在[-1,1]上的最大值.
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曲线y=ex在点P(0,1)处的切线的方程为 ______.
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已知实数a,b,c,d成等差数列,且曲线y=ln(x+2)-x的极大值点坐标为(b,c),则a+d等于(  )
A.-1B.0C.1D.2
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已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆Ω,它的离心率为
1
2
,一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合,过直线l:x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线,切点分别是A,B.
(Ⅰ)求椭圆Ω的方程;
(Ⅱ)若在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的点(x0,y0)处的椭圆的切线方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
.求证:直线AB恒过定点C;并出求定点C的坐标.
(Ⅲ)是否存在实数λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立?(点C为直线AB恒过的定点)若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
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