已知函数f（x）=ax3-x，其中a≤13．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]上的最大值．

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax³-x，其中a≤

1

3

．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-1，1]上的最大值．

答案

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x³-x，f（2）=6，f"（2）=11
所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-6=11（x-2），
即11x-y-16=0；   （6分）
（Ⅱ）f"（x）=3ax²-1．
当a≤0时，f"（x）=3ax²-1＜0，y=f（x）在[-1，1]单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；
当0＜a≤

1

3

时，令f"（x）=0，解得x1=-

1

3a

，x2=

1

3a

．
因为0＜a≤

1

3

，所以x2=

1

3a

＞1且x1=-

1

3a

＜-1，
又当-1＜x＜1时，f"（x）＜0，
故y=f（x）在[-1，1]单调递减，∴f（x）_max=f（-1）=-a+1；
综上，函数f（x）在[-1，1]上的最大值为-a+1．（14分）