已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3-x2+ax.(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;(Ⅱ)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)

已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3-x2+ax.(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;(Ⅱ)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)

题型:浙江省模拟题难度:来源:
已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3x2+ax.
(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于
答案
解:(Ⅰ) 解: 当a=2时,f ′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).        
列表如下:

所以,f (x)极小值为f (2)=
(Ⅱ) 解:f ′(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).
g ′(x)=3x2+2bx-(2b+4)+
令p(x)=3x2+(2b+3)x-1,  
(1) 当 1<a≤2时,f (x)的极小值点x=a,
则g(x)的极小值点也为x=a,
所以p(a)=0,即3a2+(2b+3)a-1=0,即b=
此时g(x)极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3+
由于1<a≤2,故 2-
(2) 当0<a<1时,f (x)的极小值点x=1,则g(x)的极小值点为x=1,
由于p(x)=0有一正一负两实根,不妨设x2<0<x1,所以0<x1<1,
即p(1)=3+2b+3-1>0,故b>-
此时g(x)的极大值点x=x1
有 g(x1)=x13+bx12-(2b+4)x1+lnx1<1+bx12-(2b+4)x1
=(x12-2x1)b-4x1+1  (x12-2x1<0)<-(x12-2x1)-4x1+1
=-x12+x1+1=-(x1)2+1+   (0<x1<1)≤
综上所述,g(x)的极大值小于等于. 
举一反三
设函数
(1)求函数的极大值;
(2)若时,恒有成立,试确定实数的取值范围.
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设三次函数f(x)的导函数为f"(x),函数y=xf"(x)的图象的一部分如图所示,则
[     ]
A.f(x)极大值为,极小值为
B.f(x)极大值为,极小值为
C.f(x)极大值为,极小值为
D.f(x)极大值为,极小值为
题型:湖北省期中题难度:| 查看答案
已知是函数的一个极值点.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间.
题型:江苏省期中题难度:| 查看答案
函数的定义域为开区间,导函数内的图象如右图所示,则函数在开区间内有极小值点
[     ]
A.1个    
B. 2个    
C.3个    
D.4个
题型:浙江省期中题难度:| 查看答案
若函数时有极值10,则实数的值是[     ]
A.  
B.  
C.  
D.
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