设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a的导数为f "（x），若函数y=f "（x）的图像关于直线x=对称，且函数y=f "（x）有最小值。（Ⅰ）求函数f（x）

题型：甘肃省模拟题难度：来源：

设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a的导数为f "（x），若函数y=f "（x）的图像关于直线x=对称，且函数y=f "（x）有最小值。
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函数g（x）=x²-14x+m，若方程f（x）+g（x）=0只有一个实根，求实数的m取值范围。

答案

解：（Ⅰ）∵f "（x）=3x²+4ax+b=
∴，解得a=-2，b=5
∴f （x）=3x³-4x²+5x-2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）=3x³-4x²+5x-2
∴f（x）+g（x）=x³-3x²-9x+m-2
令h（x）=f（x）+g（x），则h"（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴函数h（x）在（-∞，1]上单调递增，在[-1，3]上单调递减，在[3，+∞）上单调递增。
∴h（x）_极大值=h（-1）=3+m，h（x）_极小值=h（3）=m-29
∵方程f（x）+g（x）=0只有一个实根
∴ 或解得m<-3或m>29
∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（29，+∞）