设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a的导数为f "(x),若函数y=f "(x)的图像关于直线x=对称,且函数y=f "(x)有最小值。(Ⅰ)求函数f(x)

设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a的导数为f "(x),若函数y=f "(x)的图像关于直线x=对称,且函数y=f "(x)有最小值。(Ⅰ)求函数f(x)

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设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a的导数为f "(x),若函数y=f "(x)的图像关于直线x=对称,且函数y=f "(x)有最小值
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知函数g(x)=x2-14x+m,若方程f(x)+g(x)=0只有一个实根,求实数的m取值范围。


答案

解:(Ⅰ)∵f "(x)=3x2+4ax+b=
解得a=-2,b=5
∴f (x)=3x3-4x2+5x-2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f (x)=3x3-4x2+5x-2
∴f(x)+g(x)=x3-3x2-9x+m-2
令h(x)=f(x)+g(x),则h"(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴函数h(x)在(-∞,1]上单调递增,在[-1,3]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增。
∴h(x)极大值=h(-1)=3+m,h(x)极小值=h(3)=m-29
∵方程f(x)+g(x)=0只有一个实根
解得m<-3或m>29
∴m的取值范围是(-∞,-3)∪(29,+∞)


举一反三
已知函数
(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(Ⅱ)若函数处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)当时,试比较的大小
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已知函数处有极值,则函数y=asinx+bcosx的图象可能是[     ]
A.
B.
C.
D.
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已知函数且f(x)在x=1处取得极小值    
(1)求m的值。    
(2)若上是增函数,求实数λ的取值范围。
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已知函数
(1)若函数y=f(x)点处的切线斜率为1,求a的值;
(2)在(1)的条件下,对任意,函数在区间(t,3)总存在极值,求m的取值范围;
(3)若a=2,对于函数上至少存在一个x0使得成立,求实数p的取值范围。
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已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3x2+ax.
(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ)若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.
求证:g(x)的极大值小于等于
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