已知函数f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R).(1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值=,试求y=f(x)的解析式;(2)当x

已知函数f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R).(1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值=,试求y=f(x)的解析式;(2)当x

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已知函数f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)当a>0时,函数f(x)满足f(x)极小值=1,f(x)极大值=,试求y=f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1]时,设f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若a∈[]且a为常数,求θ的取值范围.
答案
解:(1)由f"(x)=﹣3x2+2ax(a>0),
令f"(x)=0,得x=0或x=a.
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:

解得b=1,a=1.
∴f(x)=﹣x3+x2+1.
(2)tanθ=f"(x)=﹣3x2+2ax=
∵a∈[],

∵x∈[0,1],
∴f"(0)≤f"(x)≤f"().
∴0≤f"(x)≤,即0≤tanθ≤
∵0≤θ≤π,
∴θ∈[0,arctan],
∴θ的取值范围是[0,arctan].
举一反三
已知函数f(x)=x3+2x2﹣ax,对于任意实数x恒有f"(x)≥2x2+2x﹣4,
(1)求实数a的取值范围;
(2)当a最大时,关于x的方程f(x)=k|x|恰有两个不同的根,求实数k的取值范围.
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已知在函数f(x)=mx3﹣x的图象上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 .
(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k﹣1995对于x∈[﹣1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若,求f(x)的单调区间和极值;
(3)若对x∈[﹣1,2]都有恒成立,求c的取值范围.
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已知函数f(x)=(ax2﹣2x+1)·e﹣x(a∈R,e为自然对数的底数).
(I) 当时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ) 若函数f(x)在[﹣1,1]上单调递减,求a的取值范围.
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函数f(x)=x2+bln(x+1)﹣2x,b∈R
(I)当 时,求函数f(x)的极值;
(II)设g(x)=f(x)+2x,若b≥2,求证:对任意x1,x2∈(﹣1,+∞),且x1≥x2,都有g(x1)﹣g(x2)≥2(x1﹣x2).
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