设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若

设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;(2)在(1)的条件下,若

题型:模拟题难度:来源:
设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值,
(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,求实数c的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,求实数m的取值范围; (3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.
答案
解:(1)因为
所以h(x)=f′(x)=x3-12x+c,
由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根,
考察函数,则由h′(x)=0,得x=±2,

所以故-16<c<16.
(2)存在c∈(-16,16),使f′(x)≥0,即
所以,即在区间[m-2,m+2]上恒成立,
所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集,
所以或m-2>2,即-2<m<0,或m>4。
(3)由题设,可得存在α,β∈R,使
恒成立,
又f′(t2)=0,且在x=t2两侧同号,所以
另一方面,
因为,且
所以
所以
所以
而x-t1>0,所以g′(x)<0,
所以g(x)在(t1,t2)内单调递减;
从而g(x)在(t1,t2)内最多有一个零点.
举一反三
已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3
(1)设a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,试确定a的取值范围。
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函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是[     ]
A.2
B.1
C.0
D.由a确定
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若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-
(1)求函数的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则f(2)=(    )。
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若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于[     ]
A.2
B.3
C.6
D.9
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