已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;(II)若对任意x∈[-1,1],

已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;(II)若对任意x∈[-1,1],

题型:东城区一模难度:来源:
已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].
(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;
(II)若对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,求证:|a|≤4.
答案
证明:(I)由a=4,c=3,得f(x)=4x3-3x,
于是f′(x)=12x2-3,
令f′(x)=0,可得x=±
1
2

∴当-1<x<-
1
2
1
2
<x<1,时f′(x)>0,
当-
1
2
<x<
1
2
时,f′(x)<0,
∴函数f(x)的增区间为(-1,-
1
2
),(
1
2
,1),减区间(-
1
2
1
2
),
又f(-1)=-1,f(-
1
2
)=1,f(1)=1,f(
1
2
)=-1,
故对任意x∈[-1,1],恒有-1≤f(x)≤1,
即对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1.(7分)
(II)证明:由f(x)=ax3-cx可得,
f(1)=a-c,f(
1
2
)=
a
8
-
c
2

因此f(1)-2f(
1
2
)=
3a
4

由|
3a
4
|=|f(1)-2f(
1
2
)|≤|f(1)|+2|f(
1
2
)|
又对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,
∴|
3a
4
|≤3,可得|a|≤4.(14分)
举一反三
已知平面向量


a
=(


3
2
,-
1
2
)


b
=(
1
2


3
2
)
,若存在不为零的实数m,使得:


c
=


a
+2x


b


d
=-y


a
+(m-2x2)


b
,且


c


d

(1)试求函数y=f(x)的表达式;
(2)若m∈(0,+∞),当f(x)在区间[0,1]上的最大值为12时,求此时m的值.
题型:湖北模拟难度:| 查看答案
(1)设函数f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值;
(2)设正数p1p2p3,…,p2n满足p1+p2+p3+…+p2n=1,求证:p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)的导函数f(x)=-3x2+6x+9.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
题型:武昌区模拟难度:| 查看答案
设函数f(x)=-x3+3mx+1+m(m∈R),且f(x)+f(-x)=4对任意x∈R恒成立.
(I)求m的值;
(II)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值;
(III)设实数a,b,c∈[0,+∞)且a+b+c=3,证明:
1
(1+a)2
+
1
(1+b)2
+
1
(1+c)2
3
4
题型:成都一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
sinx
3cosx

-x(0<x<
π
2
).
(1)求f(x)的导数f′(x);
(2)求证:不等式sin3x>x3cosx在(0,
π
2
]上恒成立;
(3)求g(x)=
1
sin2x
-
1
x2
(0<x≤
π
2
)的最大值.
题型:武汉模拟难度:| 查看答案
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