已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;(II)若对任意x∈[-1,1],
题型:东城区一模难度:来源:
已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1]. (I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1; (II)若对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,求证:|a|≤4. |
答案
证明:(I)由a=4,c=3,得f(x)=4x3-3x, 于是f′(x)=12x2-3, 令f′(x)=0,可得x=±, ∴当-1<x<-或<x<1,时f′(x)>0, 当-<x<时,f′(x)<0, ∴函数f(x)的增区间为(-1,-),(,1),减区间(-,), 又f(-1)=-1,f(-)=1,f(1)=1,f()=-1, 故对任意x∈[-1,1],恒有-1≤f(x)≤1, 即对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1.(7分) (II)证明:由f(x)=ax3-cx可得, f(1)=a-c,f()=-, 因此f(1)-2f()=, 由||=|f(1)-2f()|≤|f(1)|+2|f()| 又对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1, ∴||≤3,可得|a|≤4.(14分) |
举一反三
已知平面向量=(,-),=(,),若存在不为零的实数m,使得:=+2x,=-y+(m-2x2),且⊥, (1)试求函数y=f(x)的表达式; (2)若m∈(0,+∞),当f(x)在区间[0,1]上的最大值为12时,求此时m的值. |
(1)设函数f(x)=xlnx+(1-x)ln(1-x)(0<x<1),求f(x)的最小值; (2)设正数p1,p2,p3,…,p2n满足p1+p2+p3+…+p2n=1,求证:p1lnp1+p2lnp2+p3lnp3+…+p2nlnp2n≥-n. |
已知函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+6x+9. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. |
设函数f(x)=-x3+3mx+1+m(m∈R),且f(x)+f(-x)=4对任意x∈R恒成立. (I)求m的值; (II)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值; (III)设实数a,b,c∈[0,+∞)且a+b+c=3,证明:++≥. |
已知函数f(x)=-x(0<x<). (1)求f(x)的导数f′(x); (2)求证:不等式sin3x>x3cosx在(0,]上恒成立; (3)求g(x)=-(0<x≤)的最大值. |
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