已知函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+6x+9.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小
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已知函数f(x)的导函数f′(x)=-3x2+6x+9. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. |
答案
(1)由f′(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3)<0,得x<-1或x>3, 由f′(x)=-3(x+1)(x-3)>0,得-1<x<3, ∴函数f(x)的单调减区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调增区间为(-1,3); (2)设f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f′(x)=3ax2+2bx+c, ∴3a=-3,2b=6,c=9, 即a=-1,b=3,c=9. 故f(x)=-x3+3x2+9x+d, 由(1)知f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增, 又f(2)=22+d>f(-2)=2-d, ∴f(x)max=22+d=20, ∴d=-2, ∴f(x)=-x3+3x2+9x-2, ∴f(x)在区间[-2,2]上的最小值为f(-1)=-7. |
举一反三
设函数f(x)=-x3+3mx+1+m(m∈R),且f(x)+f(-x)=4对任意x∈R恒成立. (I)求m的值; (II)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值; (III)设实数a,b,c∈[0,+∞)且a+b+c=3,证明:++≥. |
已知函数f(x)=-x(0<x<). (1)求f(x)的导数f′(x); (2)求证:不等式sin3x>x3cosx在(0,]上恒成立; (3)求g(x)=-(0<x≤)的最大值. |
已知幂函数f(x)=xa,当x>1时,恒有f(x)<x,则a的取值范围是( ) |
已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为______. |
已知函数f(x)=,(k,b∈N*),满足f(2)=2,f(3)>2. (1)求k,b的值; (2)若各项为正的数列{an}的前n项和为Sn,且有4Sn•f(-)=-1,设bn=a2n,求数列{n•bn}的前n项和Tn; (3)在(2)的条件下,证明:ln(1+bn)<bn. |
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