(1)由 ⇒, 由①代入②可得k<,且k∈N*. 当k=2时,b=2(成立),当k=1时,b=0(舍去). 所以k=2,b=2. (2)4Sn•f(-)=4Sn•=-1,即2Sn=an2+an…③. n≥2时,2Sn-1=an-12+an-1…④. 所以,当n≥2时,由③-④可得2an=(an2-an-12)+(an-an-1), 整理得,(an+an-1)(an-an-1-1)=0. 又∵an>0得an-an-1=1,且a1=1, 所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即an=n, bn=2n.∴nbn=n•2n. Tn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n, 2Tn=1•22+2•23+3•24+…+(n-1)•2n+n•2n+1, 由上两式相减得 -Tn=21+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1. ∴Tn=(n-1)2n+1+2. (3)由(2)知bn=2n,只需证ln(1+2n)<2n. 设f(x)=ln(1+2x)-2x(x≥1且x∈R). 则f′(x)=-2xln2=•(-2x)<0, 可知f(x)在[1,+∞)上递减,∴f(x)max=f(1)=ln3-2<0. 由x∈N*,则f(n)≤f(1)<0, 故ln(1+bn)<bn. |