设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0)(1)若f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),求g(x)的解析式;(2)在(1)的结论下,是否存在

设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0)(1)若f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),求g(x)的解析式;(2)在(1)的结论下,是否存在

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x2,g(x)=alnx+bx(a>0)
(1)若f(1)=g(1),f′(1)=g′(1),求g(x)的解析式;
(2)在(1)的结论下,是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值.若不存在,说明理由.
(3)设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x1和x2,且x1,x0x2成等差数列,试探究值G′(x0)的符号.
答案
(1)由f(1)=g(1),得 b=1.
∵f(x)=2x,g(x)=
a
x
+b
,f′(1)=g′(1)
∴2=a+b,联立





b=1
a+b=2
,解得a=b=1,
则g(x)=lnx+x.
(2)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)=x2在点(1,1)的切线方程为y=2x-1,
下面验证 f(x)≥2x-1,g(x)≤2x-1  都成立即可.
由x2-2x+1≥0,得x2≥2x-1,知f(x)≥2x-1恒成立.
设h(x)=lnx+x-(2x-1),即h(x)=lnx-x+1,h(x)=
1
x
-1=
1-x
x
,∴当0<x<1时,h(x)>0;当x>1时,h(x)<0.
∴h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,∴h(x)在x=1时取得最大值,
∴h(x)=lnx+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以lnx+x≤2x-1恒成立.
故存在这样的k和m,且k=2,m=-1,满足条件.
(3)G′(x0)的符号为正,理由为:
∵G(x)=x2+2-alnx-bx有两个不同的零点x1,x2
则有





x21
+2-alnx1-bx1=0
x22
+2-alnx2-bx2=0
,两式相减得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b(x2-x1)=0.
即x1+x2-b=
a(lnx2-lnx1)
x2-x1
,又x1+x2=2x0
则G′(x0)=2x0-
a
x0
-b=(x1+x2-b)-
2a
x1+x2
=
a(lnx2-lnx1)
x2-x1
-
2a
x1+x2
=
a
x2-x1
[ln
x2
x1
-
2(x2-x1)
x2+x1
]

=
a
x2-x1
[ln
x2
x1
-
2(
x2
x1
-1)
1+
x2
x1
]

①当0<x1<x2时,令
x2
x1
=t,则t>1,且G′(x0)=
a
x2-x1
[lnt-
2(t-1)
1+t
],
故μ(t)=lnt-
2(t-1)
1+t
(t>1),μ′(t)=
1
t
-
4
(1+t)2
=
(1-t)2
t(1+t)2
>0,则μ(t)在[1,+∞)上为增函数,
而μ(1)=0,∴μ(t)>0,即lnt-
2(t-1)
1+t
>0,又a>0,x2-x1>0,∴G′(x0)>0,
②当0<x2<x1时,同理可得:G′(x0)>0,
综上所述:G′(x0)值的符号为正.
举一反三
把长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形最小的面积之和是______.
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函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值是______,最大值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
定义函数fK(x)=





f(x),  f(x) >K
K, f(x) ≤ K
(K为给定常数),已知函数f(x)=
5
2
x2-3x2
lnx,若对于任意的x∈(0,+∞),恒有fK(x)=K,则实数K的取值范围为______.
题型:不详难度:| 查看答案
对任意的实数x>0,总有a-2x-|lnx|≤0,则实数a的范围为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)在x∈[1,a]上的最小值和最大值.
题型:雅安三模难度:| 查看答案
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