已知函数F(x)=13ax3-bx2+cx+d(a≠0)的图象过原点,f(x)=F′(x),g(x)=f′(x),f(1)=0,函数y=f(x)与y=g(x)的

已知函数F(x)=13ax3-bx2+cx+d(a≠0)的图象过原点,f(x)=F′(x),g(x)=f′(x),f(1)=0,函数y=f(x)与y=g(x)的

题型:自贡一模难度:来源:
已知函数F(x)=
1
3
ax3-bx2+cx+d(a≠0)
的图象过原点,f(x)=F′(x),g(x)=f′(x),f(1)=0,函数y=f(x)与y=g(x)的图象交于不同的两点A、B.
(Ⅰ)若y=F(x)在x=-1处取得极大值2,求函数y=F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若使g(x)=0的x值满足x∈[-
1
2
1
2
]
,求线段AB在x轴上的射影长的取值范围.
答案
∵F(x)的图象过原点,∴d=0.
又f(x)=F"(x)=ax2-2bx+c,f(1)=0,,∴a+c=2b.…①…(2分)
(Ⅰ)由y=F(x)在x=-1处取得极大值2知:f(-1)=a+2b+c=0,…②
F(-1)=-
1
3
a-b-c=2
,…③…(4分)
由①②③得a=3,b=0,c=-3,
∴F(x)=x3-3x.…(5分)
由f(x)=3x2-3≥0,得x≥1或x≤-1;由f(x)=3x2-3≤0,得-1≤x≤1.
∴F(x)的单调递减区间为[-1,1],单调递增区间为(-∞,-1]和[1,+∞).…(7分)
(Ⅱ)f(x)=ax2-2bx+c=ax2-(a+c)x+c,,g(x)=2ax-2b=2ax-(a+c),





y=ax2-(a+c)x+c
y=2ax-(a+c)
,得ax2-(3a+c)x+a+2c=0.…(8分)
设A(x1y1),B(x2y2),则x1+x2=
3a+c
a
=3+
c
a
x1x2=
a+2c
a
=1+2•
c
a

∴线段AB在x轴上的射影长m=|x1-x2|=


(x1+x2)2-4x1x2
=


(
c
a
-1)
2
+4
.…(9分)
g(x)=0,得x=
1
2
(1+
c
a
).由x∈[-
1
2
1
2
]得-2≤
c
a
≤0
.…((10分)
∴当
c
a
=-2时,m取最大值


13
;当
c
a
=0时,m取最小值


5



5
≤m≤


13
.…(12分)
举一反三
函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)上以点P(1,f(1))为切点的切线方程为y=3x+1.
(1)若y=f(x)在x=-2时有极值,求f (x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,求y=f(x)在[-3,1]上最大值.
题型:攀枝花三模难度:| 查看答案
烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染.已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正比.现有A,B两座烟囱相距20km,其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍,试求出两座烟囱连线上的一点C,使该点的烟尘浓度最低.
题型:不详难度:| 查看答案
若f(x)=





x2-a(ln-1)(0<x<e)
x2+a(lnx-1)(x≥e
其中a∈R
(1)当a=-2时,求函数y(x)在区间[e,e2]上的最大值;
(2)当a>0,时,若x∈[1,+∞),f(x)≥
3
2
a
恒成立,求a的取值范围.
题型:肇庆一模难度:| 查看答案
设函数f(x)=1-e-x
(Ⅰ)证明:当x>-1时,f(x)≥
x
x+1

(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤
x
ax+1
,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线C:y=
1
3
x3-x2-4x+1
,直线l:x+y+2k-1=0,当x∈[-3,3]时,直线l 恒在曲线C的上方,则实数k的取值范围是(  )
A.k>-
5
6
B.k<-
5
6
C.K<
3
4
D.K>
3
4
题型:不详难度:| 查看答案
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