解:(1) =
因为函数f(x)在x=1处取得极大值0
所以, 解m=﹣1
(2)由(1)知 ,
令f"(x)=0得x=1或 (舍去)
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
所以,当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(1)=ln1﹣1+1=0
当x≠1时,f(x)<f(1),即f(x)<0
所以,当k<0时,函数f(x)的图象与直线y=k有两个交点,
(3)设
当p=0时, ,F(x)在[1,2]递增,F(1)=﹣2<0不成立,(舍)
当p≠0时 当 ,即﹣1<p<0时,
F(x)在[1,2]递增,F(1)=﹣2p﹣2<0,不成立
当 ,即p<﹣1时,F(x)在[1,2]递增,
所以F(1)=﹣2p﹣2≥0,解得p≤﹣1,
所以,此时p<﹣1 当p=﹣1时,F(x)在[1,2]递增,成立;
当p>0时,F(1)=﹣2p﹣2<0不成立,
综上,p≤﹣1
设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).
(1)求f (x)的单调区间;
(2)若当时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.
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