已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax﹣3),其中a为常数.(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)上是增函

已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax﹣3),其中a为常数.(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)上是增函

题型:山东省月考题难度:来源:
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax﹣3),其中a为常数.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+f"(x),x∈0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
答案
解:(1)∵f(x)=ax3﹣3x2
∴f"(x)=3ax2﹣6x=3x(ax﹣2).
∵x=1是f(x)的一个极值点,
∴f"(1)=0, ∴a=2
(2)①当a=0时 f(x)=﹣3x2在区间(﹣1,0)上是增函数 ∴a=0符合题意;
②当a≠0时,f"(x)=3ax ,令f"(x)=0得:x1=0,x2
当a>0时,对任意x∈(﹣1,0),f"(x)>0, ∴a>0 (符合题意)
当a<0时,当 时f"(x)>0, ∴ ,∴﹣2≤a<0(符合题意)
综上所述,a≥﹣2.
(3)a>0,g(x)=ax3+(3a﹣3)x2﹣6x,x∈[0,2].
g"(x)=3ax2+2(3a﹣3)x﹣6=3[ax2+2(a﹣1)x﹣2],
令g"(x)=0,即ax2+2(a﹣1)x﹣2=0(*),显然有△=4a2+4>0.
设方程(*)的两个根为x1,x2,由(*)式得 
不妨设x1<0<x2
当0<x2<2时,g(x2)为极小值
所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2)
当x2≥2时,由于g(x)在[0,2]上是单调递减函数
所以最大值为g(0),所以在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2)
又已知g(x)在x=0处取得最大值
所以g(0)≥g(2)即0≥20a﹣24,解得a≤ ,
又因为a>0,所以 .
故答案为:(1)a=2;(2)a≥﹣2;(3) 
举一反三
已知函数
(I)若f(x)在处取和极值,
①求a、b的值;
②存在,使得不等式f()-c≤0成立,求c的最小值;
(II)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围
(参考数据e2≈7.389,e3≈20.08)
题型:宁夏回族自治区月考题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求证:对于区间[﹣1,1]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|≤4;
(3)若过点A(1,m)(m≠﹣2)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的范围.
题型:山东省月考题难度:| 查看答案
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)﹣g(x).
(1)若x=0是F(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若x>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(﹣x)的图象上方,求实数a的取值范围.
题型:山西省月考题难度:| 查看答案

设函数f(x)=(1+x)2﹣2ln(1+x).
(1)求f (x)的单调区间;
(2)若当时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根,求实数a的取值范围.


题型:四川省月考题难度:| 查看答案
已知函数
(1)求函数f(x)在(0,2)上的最小值;
(2)设g(x)=﹣x2+2mx﹣4,若对任意x1∈(0,2),x2[1,2],不等式f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数m的取值范围.
题型:云南省月考题难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.