解:(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为,
由抛物线定义和已知条件可知,解得p=2,
故所求抛物线方程为y2=4x。
(2)联立,消去x并化简整理得y2+8y-8b=0,
依题意应有Δ=64+32b>0,解得b>-2,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-8,y1y2=-8b,
设圆心Q(x0,y0),则应有,
因为以AB为直径的圆与x轴相切,得到圆的半径为r=|y0|=4,
又|AB|=
,
所以,解得,
所以x1+x2=2b-2y1+2b-2y2=4b+16=,
所以圆心坐标为,
故所求圆的方程为。
(3)因为直线l与y轴负半轴相交,所以b<0,
又l与抛物线C交于两点,由(2)知b>-2,所以-2<b<0,
直线l:整理得x+2y-2b=0,
点O到直线l的距离,
所以,
令g(b)=b3+2b2,-2<b<0,,
当b变化时,g′(b)、g(b)的变化情况如下表:
由上表可得g(b)的最大值为,
所以当时,△AOB的面积取得最大值。
已知函数f(x)=ax2+lnx(a∈R)。
(1)当时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)如果函数g(x),f1(x),f2(x)在公共定义域D上,满足f1(x)<g(x)<f2(x),那么就称g(x)为f1(x),f2(x)的 “活动函数”。已知函数f1(x)=(a-)x2+2ax+(1-a2)lnx,f2(x)=x2+2ax。
①若在区间(1,+∞)上,函数f(x)是f1(x),f2(x)的“活动函数”,求a的取值范围;
②当时,求证:在区间(1,+∞)上,函数f1(x),f2(x)的“活动函数”有无穷多个。
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