抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax.
题型:不详难度:来源:
抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切.此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a、b值,并求Smax. |
答案
解析
依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0,x2=-b/a,所以 (1) 又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019095557-98106.gif) 得ax2+(b+1)x-4=0,其判别式必须为0,即(b+1)2+16a=0. 于是 代入(1)式得:
, ; 令S"(b)=0;在b>0时得唯一驻点b=3,且当0<b<3时,S"(b)>0;当b>3时,S"(b)<0.故在b=3时,S(b)取得极大值,也是最大值,即a=-1,b=3时,S取得最大值,且 . |
举一反三
设直线![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019095549-88821.gif) 与抛物线 所围成的图形面积为S,它们与直线 围成的面积为T, 若U=S+T达到最小值,求 值;并求此时平面图形绕 轴一周所得旋转体的体积. |
若 ,则 = |
设 则 =( ) |
汽车每小时54公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度3米/秒刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少公里? |
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