在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设向量=（a，cosB），=（b，cosA）且∥，≠．（1）求角C的大小；（2）求sinA+sinB的取值范围

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在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，设向量=（a，cosB），=（b，cosA）且∥，≠．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

答案

解：（1）∵向量 =（a，cosB）， =（b，cosA），且 ∥ ，
∴a：b=cosB：cosA，即acosA=bcosB，
根据正弦定理化简得：2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A=2B或2A+2B=π，
又 ≠ ，故A≠B，
∴A+B= ，则C= ；
（2）∵A+B= ，
∴sinA+sinB=sinA+sin（ ﹣A）=sinA+cosA= sin（A+ ），
又0＜A＜ ，∴ ＜A+ ＜ ，
∴ ＜sin（A+ ）≤1，
∴1＜ sin（A+ ）≤ ，
则sinA+sinB的取值范围是（1， ]．