设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,则下列命题正确的是______(写出所有正确命题的序号).①若ab>c2,则C<π3;②若a+b>2c,则C<π
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设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,则下列命题正确的是______(写出所有正确命题的序号).①若ab>c2,则C<π3;②若a+b>2c,则C<π
题型:不详
难度:
来源:
设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,则下列命题正确的是______(写出所有正确命题的序号).
①若ab>c
2
,则C<
π
3
;
②若a+b>2c,则C<
π
3
;
③若a
4
+b
4
=c
4
,则C<
π
2
;
④若(a+b)c<2ab,则C>
π
2
;
⑤若(a
2
+b
2
)c
2
<2a
2
b
2
,则C>
π
3
.
答案
对于①,若ab>c
2
,
根据余弦定理,可得
cosC=
a
2
+
b
2
-
c
2
2ab
>
a
2
+
b
2
-ab
2ab
≥
1
2
,
结合C为三角形的内角,可得C<
π
3
,故正确;
对于②,若a+b>2c,
根据余弦定理,可得c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC,
∴4c
2
=4(a+b)
2
-8ab(1+cosC)<(a+b)
2
,
可得3(a+b)
2
<8ab(1+cosC),
结合
2
ab
≤a+b
,得到12ab≤3(a+b)
2
,
∴12ab<8ab(1+cosC),解得cosC
>
1
2
,结合C为三角形的内角,可得C<
π
3
,故正确;
对于③,若a
4
+b
4
=c
4
,则(a
2
+b
2
)
2
=c
4
+2a
2
+b
2
>c
4
,
∴a
2
+b
2
>c
2
,可得
cosC=
a
2
+
b
2
-
c
2
2ab
>0,得C<
π
2
,故正确;
对于④⑤,取a=b=2,c=1,可得(a+b)c<2ab、(a
2
+b
2
)c
2
<2a
2
b
2
成立,
但C为最小角,必定是锐角且小于
π
3
,故C>
π
2
与C>
π
3
圴不正确,得④⑤都是错误的.
故答案为:①②③.
举一反三
如图所示在△ABC中,sin
2
A+sin
2
C=sin
2
B+sinA.sinC
(1)求B的度数.
(2)设H为△ABC的垂心,且
BH
•
BC
=6求AC边长的最小值.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对的边,∠A=60°,b=1,△ABC的面积S
△ABC
=
3
,则
a+b+c
sinA+sinB+sinC
的值等于( )
A.
2
3
39
B.
26
3
3
C.
8
3
3
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,若b=1,
c=
3
,∠C=
2π
3
,则a=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系中B(4,-3),点C在第一象限内,BC交x轴于点A,∠BOC=120°,|BC|=7.
(1)求|OC|的长;
(2)记∠AOC=a,∠BOA=β.(a,β为锐角),求sina,sinβ的值.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2(a
2
+b
2
-c
2
)=3ab;
(1)求
sin
2
A+B
2
;
(2)若c=2,求△ABC面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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