如图,已知△AOB,∠AOB=,∠BAO=,AB=4,D为线段AB的中点.若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的.记二面角B-AO-C的大小为.(Ⅰ)当平面C
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如图,已知△AOB,∠AOB=,∠BAO=,AB=4,D为线段AB的中点.若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的.记二面角B-AO-C的大小为.(Ⅰ)当平面C
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如图,已知△AOB,∠AOB=
,∠BAO=
,AB=4,D为线段AB的中点.若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的.记二面角B-AO-C的大小为
.
(Ⅰ)当平面COD⊥平面AOB时,求
的值;
(Ⅱ)当
∈[
,
]时,求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围.
答案
(Ⅰ)如图,以O为原点,在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴,OB,OA所在的直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则A (0,0,2
),B (0,2,0), D (0,1,
),C (2sin
,2cos
,0).设
=(x,y,z)为平面COD的一个法向量,
由
得
,
取z=sin
,则
=(
cos
,-
sin
,sin
).
因为平面AOB的一个法向量为
=(1,0,0),
由平面COD⊥平面AOB得
=0,
所以cos
=0,即
=
. ………………7分
(Ⅱ)设二面角C-OD-B的大小为
,由(Ⅰ)得当
=
时, cos
=0;
当
∈(
,
]时,tan
≤-
,
cos
=
=
=-
, 故-
≤cos
<0.
综上,二面角C-OD-B的余弦值的取值范围为[-
,0].
解析
(1)平面COD⊥平面AOB,建立坐标系,根据法向量互相垂直求得;(Ⅱ)求两个平面的法向量的夹角。
举一反三
已知
中,
,则
的面积为 ( )
A.2
B.
C.
D.
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在△
ABC
中,若2cos
B
sin
A
=sin
C
,则△
ABC
的形状一定是____________.
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已知
周长为
,且
(1)求边
的长; (2)若
的面积为
,求角
的度数。
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在△
ABC
中,若
c
=
,
b
=
,
B
=120
o
,则
a
等于 ( )
A.
B.
C.
D.2
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