(本小题满分12分)如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东

(本小题满分12分)如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
如图某市现有自市中心O通往正西和北偏东30°方向的两条主要公路,为了解决该市交通拥挤问题,市政府决定修建一条环城公路.分别在通往正西和北偏东30°方向的公路上选用A、B两点,使环城公路在A、B间为直线段,要求AB路段与市中心O的距离为10 km,且使A、B间的距离|AB|最小.请你确定A、B两点的最佳位置.

答案
如图,令|OA|=a,|OB|=b,则在△AOB中,∠AOB=120°. …………2分
|OC||AB|=absin120°.
∴|AB|=.   ① …………………………………………………………4分
又由余弦定理,
|②     …………………6分
由①②知≥3ab.                               
∵ab>0,∴ab≥400   ③   ……………………………………………8分
③代入①得|AB|=≥20
当a=b时|AB|取得最小值.…………………………………………………10分
而a=b时,△AOB为等腰三角形,
∴∠OAB=∠OBA=30°.
∴a=b=20.
∴A、B两点的最佳位置是距市中心O均为20km处.  ………………………12分
解析

举一反三
如图,某兴趣小组测得菱形养殖区的固定投食点到两条平行河岸线的距离分别为4m、8m,河岸线与该养殖区的最近点的距离为1m,与该养殖区的最近点的距离为2m.
(1)如图甲,养殖区在投食点的右侧,若该小组测得,请据此算出养殖区的面积;
(2)如图乙,养殖区在投食点的两侧,试在该小组未测得的大小的情况下,估算出养殖区的最小面积.

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中,,则(  )
A.B.C.D.

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中,,则(  )
A.B.C.D.

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中,若,则=           .
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(12分)如图,一艘轮船按照北偏西30°的方向以30海里/小时的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东15°方向上经过40分钟后,灯塔在轮船的北偏东75°方向上,求灯塔和轮船原来的距离(结果保留准确值)

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