一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花
题型:朝阳区一模难度:来源:
一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花. (Ⅰ)如图1,圆环分成的3等份为a1,a2,a3,有多少不同的种植方法?如图2,圆环分成的4等份为a1,a2,a3,a4,有多少不同的种植方法? (Ⅱ)如图3,圆环分成的n等份为a1,a2,a3,…,an时,有不同的种植方法为S(n)种,试写出S(n)与S(n-1)满足的关系式,并求出S(n)的值.
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答案
(1)如图1,先对a1部分种植,有3种不同的种法,再对a2、a3种植, ∵a2、a3与a1不同颜色,a2、a3也不同. ∴S(3)=3×2=6(种) 如图2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种) (2)如图3,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、an都有两种不同的种法, 但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色. 于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为S(n)(n≥3)种. 另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1看成一部分,这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法,记为S(n-1). 共有3×2n-1种种法. 这样就有S(n)+S(n-1)=3×2n-1. 即S(n)-2n=-[S(n-1)-2n-1],则数列{S(n)-2n}(n≥3)是首项为S(3)-23公比为-1的等比数列. 则S(n)-2n=[S(3)-23](-1)n-3(n≥3). 由(1)知:S(3)=6 ∴S(n)-2n+(6-8)(-1)n-3. ∴S(n)=2n-2•(-1)n-3. |
举一反三
如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点B向结点A传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )A.26 | B.24 | C.20 | D.19 | 某校要求每位学生从7门课程中选修4门,其中甲、乙两门课程不能都选,则不同的选课方案有 ______种.(以数字作答) | 由数字0、1、2、3、4可组成不同的三位数的个数是( )A.100 | B.125 | C.64 | D.80 | 如图所示,一个矩形广告牌分为5个不同的区域,现给广告牌着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有______种. | 6名同学报考A,B,C三所院校,如果每一所院校至少有1人报考,则不同的报考方法共有( )A.216种 | B.3240种 | C.729种 | D.540种 |
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