已知fn(x)=(1+x)n,(Ⅰ)若f2011(x)=a0+a1x+…+a2011x2011,求a1+a3+…+a2009+a2011的值;(Ⅱ)若g(x)=

已知fn(x)=(1+x)n,(Ⅰ)若f2011(x)=a0+a1x+…+a2011x2011,求a1+a3+…+a2009+a2011的值;(Ⅱ)若g(x)=

题型:门头沟区一模难度:来源:
已知fn(x)=(1+x)n
(Ⅰ)若f2011(x)=a0+a1x+…+a2011x2011,求a1+a3+…+a2009+a2011的值;
(Ⅱ)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6项的系数;
(Ⅲ)证明:
Cmm
+2
Cmm+1
+3
Cmm+2
+…+n
Cmm+n-1
=[
(m+1)n+1
m+2
]
Cm+1m+n
答案
(Ⅰ)因为fn(x)=(1+x)n
所以f2011(x)=(1+x)2011
又f2011(x)=a0+a1x+…+a2011x2011
所以f2011(1)=a0+a1+…+a2011=22011(1)
f2011(-1)=a0-a1+…+a2010-a2011=0(2)
(1)-(2)得:2(a1+a3+…+a2009+a2011)=22011
所以:a1+a3+…+a2009+a2011=f2011(1)=22010(2分)
(Ⅱ)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),
所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8
g(x)中含x6项的系数为1+2×C76+3C86=99(4分)
(Ⅲ)设h(x)=(1+x)m+2(1+x)m+1+…+n(1+x)m+n-1(1)
则函数h(x)中含xm项的系数为Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m(7分)
(1+x)h(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2++n(1+x)m+n(2)
(1)-(2)得-xh(x)=(1+x)m+(1+x)m+1+(1+x)m+2++(1+x)m+n-1-n(1+x)m+n-xh(x)=
(1+x)m[1-(1+x)n]
1-(1+x)
-n(1+x)m+n

x2h(x)=(1+x)m-(1+x)m+n+nx(1+x)m+n
h(x)中含xm项的系数,即是等式左边含xm+2项的系数,
等式右边含xm+2项的系数为-Cm+nm+2+nCm+nm+1
=-
(m+n)!
(m+2)!(n-2)!
+
n(m+n)!
(m+1)!(n-1)!
=
-(n-1)+n(m+2)
m+2
×
(m+n)!
(m+1)!(n-1)!

=
(m+1)n+1
m+2
Cm+1m+n

所以Cmm+2×Cm+1m+…+nCm+n-1m=
(m+1)n+1
m+2
Cm+1m+n
(13分)
举一反三
从4位男教师和3位女教师中选出3位教师,派往郊区3所学校支教,每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有(  )
A.210种B.186种C.180种D.90种
题型:朝阳区一模难度:| 查看答案
袋中装有10个球,其中有2个红球、3个白球、5个黄球.若取出一个红球得5分,取到一个白球得2分,取到一个黄球得1分.那么从袋中取出5个球,使得总分大于10分且小于15分的取法种数为(  )
A.90种B.100种C.110种D.120种
题型:西城区二模难度:| 查看答案
某班由24名男生和16名女生组成,现按分层抽样的方法选取10名同学参加志愿者服务,则志愿者服务人员组成的方法总数为(  ).
A.C244C166B.C246C164C.C248C162D.C247C163
题型:朝阳区二模难度:| 查看答案
某科技小组有四名男生两名女生.现从中选出三名同学参加比赛,其中至少有一名女生入选的不同选法种数为(  )
A.
C36
B.
C12
C25
C.
C12
C24
+
C22
C14
D.
A36
题型:海淀区二模难度:| 查看答案
某运动队从5名男运动员和6名女运动员中选出两名男运动员和两名女运动员举行乒乓球混合双打比赛,对阵双方各有一名男运动员和一名女运动员,则不同的选法共有(  )
A.50种B.150种C.300种D.600种
题型:崇文区一模难度:| 查看答案
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