(本小题满分12分)求证:32n+2-8n–9(n∈N*)能被64整除.
题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)求证:32n+2-8n–9(n∈N*)能被64整除. |
答案
方法1:二项式定理 证明:32n+2-8n–9=9n+1-8n–9=(8+1)n+1-8n–9 ………………………………4分 =8n+1+·8n+…+·82+·8+-8n-9 =82(8n-1+8n-2+…+)+8(n+1)+1-8n-9…………………8分 =64(8n-1+8n-2+…+) …………………………………10分 ∵8n-1+8n-2+…+∈Z, ∴32n+2-8n–9能被64整除. …………………………………12分 方法2:数学归纳法 (1)当n=1时,式子32n+2-8n–9=34-8-9=64能被64整除,命题成立.………………2分 (2)假设当n=k时,32k+2-8k-9能够被64整除. ………………………………4分 当n=k+1时, 32k+4-8(k+1)-9 =9[32k+2-8k-9]+64k+64 =9[32k+2-8k-9]+64(k+1) …………………………………8分 因为32k+2-8k-9能够被64整除, ∴9[32k+2-8k-9]+64(k+1)能够被64整除. …………………………………10分 即当n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)可知,32n+2-8n–9(n∈N*)能被64整除.……………………………12分 |
解析
略 |
举一反三
已知二项式的展开式中各项系数的和为64. (I)求n; (II)求展开式中的常数项. |
(本小题满分12分) 已知的二项展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1. (1)求二项展开式中各项系数的和; (2)求二项展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项 |
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