已知（a2+1）n展开式中的各项系数之和等于（x2+）5的展开式的常数项，而（a2+1）n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值（a∈R）.

题型：不详难度：来源：

已知（a²+1）ⁿ展开式中的各项系数之和等于（x²+）⁵的展开式的常数项，而（a²+1）ⁿ的展开式的系数最大的项等于54，求a的值（a∈R）.

答案

a=±

解析

（x²+）⁵的通项公式为
T_r+1=C·=C··x
令20-5r=0，则r=4，∴常数项为T₅=C×=16.
又（a²+1）ⁿ展开式的各项系数之和为2ⁿ，依题意得2ⁿ=16，
n=4，由二项式系数的性质知（a²+1）⁴展开式中系数最大的项是中间项T₃，所以C（a²）²=54，即a⁴=9，所以a=±.