试题分析:(1)因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED. 故∠CED为异面直线CE与AF所成的角. 因为FA⊥平面ABCD,所以FA⊥CD.故ED⊥CD. 在Rt△CDE中,CD=1,ED=2, CE==3,故cos∠CED==. 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为。 (2)证明:过点B作BG∥CD,交AD于点G, 则∠BGA=∠CDA=45°.由∠BAD=45°,可得BG⊥AB, 从而CD⊥AB,又CD⊥FA,FA∩AB=A,所以CD⊥平面ABF; (3)解:由(Ⅱ)及已知,可得AG=,即G为AD的中点. 取EF的中点N,连接GN,则GN⊥EF, 因为BC∥AD,所以BC∥EF. 过点N作NM⊥EF,交BC于M, 则∠GNM为二面角B-EF-A的平面角. 连接GM,可得AD⊥平面GNM,故AD⊥GM. 从而BC⊥GM.由已知,可得GM=. 由NG∥FA,FA⊥GM,得NG⊥GM. 在Rt△NGM中,tan∠GNM=, 所以二面角B-EF-A的正切值为. 点评:中档题,立体几何问题的解法,要牢记“转化与化归思想”,空将间题转化成平面问题.立体几何中的计算问题,要注意遵循“一作,二证,三计算”,避免出现只算不证的错误。 |