(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线
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(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线
题型:不详
难度:
来源:
(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中,侧棱AA
1
⊥底面ABC,AB=AC=2AA
1
,∠BAC=120°,D,D
1
分别是线段BC,B
1
C
1
的中点,P是线段AD的中点.
(I)在平面ABC内,试做出过点P与平面A
1
BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD
1
A
1
;
(II)设(I)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A﹣A
1
M﹣N的余弦值.
答案
(I)见解析(II)
解析
(I)在平面ABC内,过点P作直线l∥BC
∵直线l⊄平面A
1
BC,BC⊂平面A
1
BC,
∴直线l∥平面A
1
BC,
∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,结合l∥BC得AD⊥l
∵AA
1
⊥平面ABC,l⊂平面ABC,∴AA
1
⊥l
∵AD、AA
1
是平面ADD
1
A
1
内的相交直线
∴直线l⊥平面ADD
1
A
1
;
(II)连接A
1
P,过点A作AE⊥A
1
P于E,过E点作EF⊥A
1
M于F,连接AF
由(I)知MN⊥平面A
1
AE,结合MN⊂平面A
1
MN得平面A
1
MN⊥平面A
1
AE,
∵平面A
1
MN∩平面A
1
AE=A
1
P,AE⊥A
1
P,∴AE⊥平面A
1
MN,
∵EF⊥A
1
M,EF是AF在平面A
1
MN内的射影,
∴AF⊥A
1
M,可得∠AFE就是二面角A﹣A
1
M﹣N的平面角
设AA
1
=1,则由AB=AC=2AA
1
,∠BAC=120°,可得∠BAD=60°,AB=2且AD=1
又∵P为AD的中点,∴M是AB的中点,得AP=
,AM=1
Rt△A
1
AP中,A
1
P=
=
;Rt△A
1
AM中,A
1
M=
∴AE=
=
,AF=
=
∴Rt△AEF中,sin∠AFE=
=
,可得cos∠AFE=
=
即二面角A﹣A
1
M﹣N的余弦值等于
.
举一反三
如图,三棱柱
的侧棱与底面
垂直,底面
是等腰直角三角形,
,侧棱
,
分别是
与
的中点,点
在平面
上的射影是
的垂心
(1)求证:
;
(2)求
与平面
所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,多面体
中,四边形
是边长为
的正方形,平面
垂直于平面
,且
,
,
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若
分别为棱
和
的中点,求证:
∥平面
;
(Ⅲ)求多面体
的体积.
题型:不详
难度:
|
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如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=3,点E、F分别在BC、AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使平面ABEF
平面EFDC,设AD中点为P.
(Ⅰ)当E为BC中点时,求证:CP∥平面ABEF;
(Ⅱ)设BE=x,当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,
平面
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求棱锥
的高.
题型:不详
难度:
|
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如图1,在直角梯形
中,AD//BC,
=90
0
,BA="BC" 把ΔBAC沿
折起到
的位置,使得点
在平面ADC上的正投影O恰好落在线段
上,如图2所示,点
分别为线段PC,CD的中点.
(I) 求证:平面OEF//平面APD;
(II)求直线CD
与平面POF;
(III)在棱PC上是否存在一点
,使得
到点P,O,C,F四点的距离相等?请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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