如右图所示,一张平行四边形的硬纸片ABC0D中,AD=BD=1,AB=.沿它的对角线BD把△BDC0折起,使点C0到达平面ABC0D外点C的位置.(1)证明:平
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如右图所示,一张平行四边形的硬纸片ABC0D中,AD=BD=1,AB=.沿它的对角线BD把△BDC0折起,使点C0到达平面ABC0D外点C的位置.(1)证明:平
题型:不详
难度:
来源:
如右图所示,一张平行四边形的硬纸片ABC
0
D中,AD=BD=1,AB=.沿它的对角线BD把△BDC
0
折起,使点C
0
到达平面ABC
0
D外点C的位置.
(1)证明:平面ABC
0
D⊥平面CBC
0
;
(2)如果△ABC为等腰三角形,求二面角A-BD-C的大小
答案
(1)证明:因为AD=BC
0
=BD=1,
AB=C
0
D=,
所以∠DBC
0
=90°,∠ADB=90°.
因为折叠过程中,∠DBC=∠DBC
0
=90°,
所以DB⊥BC,又DB⊥BC
0
,故DB⊥平面CBC
0
.
又DB⊂平面ABC
0
D,所以平面ABC
0
D⊥平面CBC
0
.
(2)法一:如右
图,延长C
0
B到E,使BE=C
0
B,连结AE,CE.
因为AD綊BE,BE=1,DB=1,∠DBE=90°,所以AEBD为正方形,AE=1.
由于AE,DB都与平面CBC
0
垂直,所以AE⊥CE,可知
AC>1.
因此只有AC=AB=时,△ABC为等腰三角形.
在Rt△AEC中,CE==1,又BC=1,
所以△CEB为等边三角形,∠CBE=60°.
由(1)可知,BD⊥BC,BD⊥BE,所以∠CBE为二面角A-BD-C的平面角,即二面角A-BD-C的大小为60°.
法二:以D为坐标原点,射线DA,DB分别为x轴正半轴和y轴正
半轴,建立如右图的空间直角坐标系D-xyz,则
A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,0,0).
由(1)可设点C的坐标为(x,1,z),其中z>0,则有
x
2
+z
2
=1.①
因为△ABC为等腰三角形,所以AC=1或AC=.
若AC=1,则有(x-1)
2
+1+z
2
=1.
由此得x=1,z=0,不合题意.
若AC=,则有(x-1)
2
+1+z
2
=2.②
联立①和②得x=,z=.
故点C的坐标为.
由于DA⊥BD,BC⊥BD,所以与夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小.
又=(1,0,0),=,
cos〈,〉==.
所以〈,〉=60°,即二面角A-BD-C的大小为60°
解析
略
举一反三
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心
②若PA、PB、PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心
其中正确命题的命题是________
题型:不详
难度:
|
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如右图所示,ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是正四棱柱,侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点.
(1)求证:BD
1
∥平面C
1
DE;
(2)求三棱锥D-D
1
BC的体积.
题型:不详
难度:
|
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用半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶,那么这个圆锥的高是 ▲ .
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
在四棱锥
中,侧面
底面
,
,底面
是直角梯形,
,
,
,
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)设
为侧棱
上一点,
,
试确定
的值,使得二面角
为
.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
P
-
ABCD
中,底面
ABCD
是菱形,∠
BAD
=
,
AB
=2,
PA
=1,
PA
⊥平面
ABCD
,
E
是
PC
的中点,
F
是
AB
的中点.
(1)求证:
BE
∥平面
PDF
;
(2)求证:平面
PDF
⊥平面
PAB
;
(3)求三棱锥
P
-
DEF
的体积.
题型:不详
难度:
|
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