(1)连结CG并延长交PA于H,连结BH ∵G是△PAC的重心 ∴CG:GH="2:1 " ∵CF:FB="2:1 " ∴CG:GH=CF:FB ∴FG∥BH ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AC ∴AC⊥平面PAB ∴ AC⊥BH ∵FG∥BH ∴FG⊥AC ---------- --4分 (2)如图所示,以A为坐标原点建立空间直角坐标系
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021015111-85705.gif) ∵A B=AC=2且AB⊥AC ∴∠A CB=45° 在直角梯形ABCD中 ∵∠BCD= 9 0° ∴∠ACD=45°∵AC="2 " ∴AD=CD= ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥CD ∵CD ⊥AD ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PD ∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面 角 ∴A(0,0,0) C( , ,0) D(0, ,0) B( , ,0) 设P(0,0, ) ∴ H(0,0, ) E( , , ) ∵FG⊥平面AEC ∴FG⊥AE∵FG∥BH ∴BH⊥AE ∴ =( , , ) =( , , )![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021015111-52783.gif) ∴ ∴ ∴PA= ∴ ∠PDA="2 " ∴当二面角P-CD-A的正切值为2时,FG⊥平面AEC ------8分 (3)∵BH∥FG ∴FG与平面PBC所成的角等于BH与平面PBC所成的角 ∵ =( , , ) =(0, ,0) =( , , ) 设平面PBC的法向量 =(x,y,z ) ∴ ∴ 令z="1 " ∴ =(2,0,1) ∴ 设直线FG与平面PB C所成的角为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191021/20191021015118-33854.gif) ∴ ∴直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为 --12分 |