四面体ABCD中,有如下命题:①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC;②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的

四面体ABCD中,有如下命题:①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC;②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的

题型:永州一模难度:来源:
四面体ABCD中,有如下命题:
①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小;
③若点O是四面体ABCD外接球的球心,则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心;
④若四个面是全等的三角形,则四面体ABCD是正四面体.
其中正确命题的序号是______(填上所有正确命题的序号).
答案
①若AC⊥BD,AB⊥CD则AD⊥BC
则连接各棱的中点后,我们易得到一个直三棱柱,
进而易得到AD⊥BC,故①正确;
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点,
则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补,故②错误;
③若点O是四面体ABCD外接球的球心,
则点O到平面ABD三个顶点的距离相等,利用勾股定理易得
点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等,即为△ABD的外心,故③正确;
④若四个面是全等的三角形,但不一定等边三角形,故四面体ABCD也不一定是正四面体,故④错误.
故答案为:①③
举一反三
正四面体ABCD的棱长为a,点E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点,则三个数量积:①2


BA


AC
;②2


AD


BD
;③2


FG


AC
中,结果为a2的序号为______.
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在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA、VB、VC满足 ______时,VC⊥AB(填上你认为正确的一种条件即可).
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若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,则称此圆锥为“黄金圆锥”.已知某黄金圆锥的侧面积为S,则这个圆锥的高为______.
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已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的上下焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆方程;
(2)已知直线l的方向向量为(1,


2
),若直线l与椭圆交于P、Q两点,O为坐标原点,求△OPQ面积的最大值.
(3)过点T(1,0)作直线l与椭圆交于M、N两点,与y轴交于点R,若


RM


MT


RN


NT
.证明:λ+μ为定值.
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若长方体的长、宽、高分别为a、b、c,且a+b+c=7,ab+bc+ca=11,则其对角线长为______.
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