如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求E到平面ACD的距离;(3)求异面直线A

如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=。(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求E到平面ACD的距离;(3)求异面直线A

题型:不详难度:来源:
如图,四面体ABCD中,O是BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求E到平面ACD的距离;
(3)求异面直线AB与CD所成角的余弦值。
答案
(1)见解析(2)略(3)
解析
本题考查点、线、面间的距离的计算,考查空间想象力和等价转化能力,解题时要认真审题,仔细解答,注意化立体几何问题为平面几何问题.
(1)连接OC,由BO=DO,AB=AD,知AO⊥BD,由BO=DO,BC=CD,知CO⊥BD.在△AOC中,由题设知AO=1,CO= 3,AC=2,故AO2+CO2=AC2,由此能够证明AO⊥平面BCD.
(2)利用等体积法得到点到面的距离的求解。
(3)取AC的中点M,连接OM、ME、OE,由E为BC的中点,知ME∥AB,OE∥DC,故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.在△OME中,EM=1能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦.
解:(1)证明:在三角形ABC中,因为,O是BD中点,
所以AO⊥BD,且   ------------------2分

连结CO,在等边三角形BCD中易得
所以
所以AO⊥CO   -----------------4分
因为CO∩BD=O,CO、BD平面BCD
所以AO⊥平面BCD    ---------------------6分
(3)分别取BC、AC的中点E、F,连结EF、EG
因为
所以∠FEO或其补角就是异面直线AB、CD所成的角---------8分
连结FO,因为AO⊥平面BCD,所以AO⊥CO,
所以在Rt△ACO中,斜边AC上的中线
又因为
所以在△EFO中,
因为>0,所以异面直线AB、CD所成的角的余弦值是---------14分
举一反三
一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何体的表面积和体积分别为(   )
A.88 ,48B.98 ,60C.108,72D.158,120

题型:不详难度:| 查看答案
有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位:cm),其侧视图和主视图是全等的三角形,则该几何体的表面积为:
A.12cm2B.15πcm2C.24πcm2D.36πcm2

题型:不详难度:| 查看答案
、已知一平面图形的斜二测直观图是底角等于45°的等腰梯形,则原图是        形.
题型:不详难度:| 查看答案
已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于          
题型:不详难度:| 查看答案
图1是设某几何体的三视图,则该几何体的体积为(  )
A.B.
C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.