如图是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?

如图是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?

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如图是一个正方体,H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角,问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几?
答案
锯掉的这块的体积是原正方体体积的.
解析
因为锯掉的是立方体的一个角,所以HA与AG、AF都垂直,即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面,实际上锯掉的这个角,是以三角形AGF为底面,H为顶点的一个三棱锥.
设正方体的棱长为a,则正方体的体积为a3.
三棱锥的底面是直角三角形AGF,而∠FAG为90°,G、F又分别为AD、AA1的中点,所以AF=AG=.这样△AGF的面积为.AH是三棱锥的高,H又是AB的中点,所以AH=.而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3,所以锯掉的那一角的体积为.
,
所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.
举一反三
若圆台的高是3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,母线与下底面所成的角是45°,则这个圆台的侧面积是(    )
A.27πB.π
C.πD.π

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若球的表面积扩大为原来的2倍,则体积是原来的(  )
A.B.C.9倍D.12倍

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小明到他父亲的木工房,看到一个棱长为50 cm的立方体工件(如图),从立方体的前后、左右、上下看,都有且仅有两个相通的正方形孔,请你算一算,这个立方体剩下的体积是多少?
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等边三角形的边长为2,它绕其一边所在的直线旋转一周,则所得旋转体的体积是        .
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长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,对角线的长是,则这个长方体的体积是(    )
A.6B.12C.24D.48

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