如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°。（1）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积； （2）若二

题型：重庆市高考真题难度：来源：

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°。
（1）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积；
（2）若二面角C-AB-D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值。

答案

解：（1）如图，设F为AC的中点，由于AD=CD，
所以DF⊥AC
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，
即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=
在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，
由勾股定理易知，
故四面体ABCD的体积。
（2）如图，设G，H分别为CD，BD的中点，则FG ∥AD，GH∥BC
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角，
设E为边AB的中点，则EF∥BC，
由AB⊥BC，知EF⊥AB
又由（1）有DF⊥平面ABC，
故由三垂线定理知DE⊥AB
所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角
由题设知∠DEF=60°，
设AD=a，则DF=AD·sin∠CAD=
在Rt△DEF中，EF=DF·cot∠DEF=
从而
因Rt△ADF≌Rt△BDF，故BD=AD=a，
从而，在Rt△BDF中，
又，
从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为。