如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1．(Ⅰ)证明：DE为异面直线AB1与CD的公

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如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁．
(Ⅰ)证明：DE为异面直线AB₁与CD的公垂线；
(Ⅱ)设异面直线AB₁与CD的夹角为45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小．

答案

(Ⅰ)证明：连结A₁B，记A₁B与AB₁的交点为F，
因为面AA₁B₁B为正方形，
故A₁B⊥AB₁，且AF=FB₁，
又AE=3EB₁，所以FE=EB₁，
又D为BB₁的中点，故DE∥BF，DE⊥AB₁， 
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点，
又由底面ABC⊥面AA₁B₁B，得CG⊥面AA₁B₁B，
连结DG，则DG∥AB₁，故DE⊥DG，
由三垂线定理，得DE⊥CD，
所以DE为异面直线AB₁与CD的公垂线． 
(Ⅱ)解：因为DG∥AB₁，故∠CDG为异面直线AB₁与CD的夹角，
∠CDG=45°，
设AB=2，则AB₁=2，DG=，CG=，AC=，
作B₁H⊥A₁C₁，H为垂足，
因为底面A₁B₁C₁⊥面AA₁C₁C，
故 B₁H⊥面AA₁C₁C，
又作HK⊥AC₁，K为垂足，连结B₁K，
由三垂线定理，得B₁K⊥AC₁，
因此∠B₁KH为二面角A₁-AC₁-B₁的平面角，
，
，
，
，
所以，二面角A₁-AC₁-B₁的大小为arctan。