(Ⅰ)证明:∵AB=2BC,∠ABC=60°, 在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3BC2, ∴AC2+BC2=4BC2=AB2,∴∠ACB=90°. ∴AC⊥BC. 又∵AC⊥FB,FB∩BC=B, ∴AC⊥平面FBC.
(Ⅱ) 线段ED上不存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC. 证明如下: 因为AC⊥平面FBC,所以AC⊥FC. 因为CD⊥FC,所以FC⊥平面ABCD. 所以CA,CF,CB两两互相垂直,如图建立的空间直角坐标系C-xyz. 在等腰梯形ABCD中,可得 CB=CD. 设BC=1,所以C(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),D(,-,0),E(,-,1). 所以=(,-,1),=(,0,0),=(0,1,0). 设平面EAC的法向量为=(x,y,z),则, 所以取z=1,得=(0,2,1). 假设线段ED上存在点Q,设Q(,-,t)(0≤t≤1),所以=(,-,t). 设平面QBC的法向量为=(a,b,c),则 所以取c=1,得=(-,0,1). 要使平面EAC⊥平面QBC,只需•=0, 即 -t×0+0×2+1×1=0,此方程无解. 所以线段ED上不存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC. |