如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B1C1的中点，（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BB1C1C；

题型：北京期末题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，
（Ⅰ）求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面A₁DC；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C-A的余弦值。

答案

（Ⅰ）证明：因为侧面均为正方形，
所以，
所以是直三棱柱，
因为，
又因为
所以，
因为，
所以A₁D⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）证明：连结于点O，连结OD，
因为为正方形，所以O为AC₁中点，

所以，
因为，
所以AB₁∥平面A₁DC；
(Ⅲ)解：因为侧面均为正方形，
，
所以两两互相垂直，
如图所示建立直角坐标系A-xyz，
设AB=1，
则，
，
设平面的法向量为，
则有
，
又因为，
所以平面的法向量为，
，
因为二面角D-A₁C-A是钝角，
所以，二面角D-A₁C-A的余弦值为。