如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=a。（1）求证：直线A1D⊥B1C1； （2）求点D到平面ACC1的距离； （3）判断A1B与平面A

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a。
（1）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（2）求点D到平面ACC₁的距离；
（3）判断A₁B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论。

答案

解：（1）点D是正△ABC中BC边的中点，
∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，
∴A₁D⊥BC ，
∵BC∥B₁C₁，
∴A₁D⊥B₁C₁。（2）作DE⊥AC于E，
∵平面ACC₁⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC₁于E，
即DE的长为点D到平面ACC₁的距离
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，
∴所求的距离。（3）直线A₁B//平面ADC₁，证明如下：
如图，连结A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF∥A₁B，
又DF平面ADC₁，A₁B平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁。