(Ⅱ)解:以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图), 在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD, 在Rt△CDE中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1, 设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t), 由AB+AD=4得AD=4-t, 所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0), , (i)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 由,得, 取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t), 又, 故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得, 即,解得或t=4(舍去,因为 AD=4-t>0), 所以。 (ii)假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. 设G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t), 则, 由得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,即t=3-m;(1) 由得(4-t-m)2=m2+t2, (2) 由(1)、(2)消去t,化简得m2-3m+4=0, (3) 由于方程(3)没有实数根,所以在线段AD上不存在一个点G, 使得点G到点P,C,D的距离都相等. 从而,在线段AD上不存在一个点G, 使得点G到点P,B,C,D的距离都相等. | |