如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于

题型：0108 期末题难度：来源：

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E。
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB。

答案

（1）证明：，
，
平面平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD，
，
∴，
∵PA在平面ABCD内的射影为AO，
∴。
（2）解：，
∴DC⊥平面PBC，

∴ ，
∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角，
∵△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°。（3）证明：取PB的中点N，连结CN，
∵PC=BC，
∴CN⊥PB，                                            ①
∴，
∴，
，
∴平面PBC⊥平面PAB，                            ②
由①、②知CN⊥平面PAB，
 连结DM、MN，则由MN∥AB∥CD，
MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形，
 ∴CN∥DM，
∴DM⊥平面PAB，
∵DM平面PAD，
 ∴平面PAD⊥平面PAB。