如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°,(Ⅰ)证明AD⊥平面PAB;(Ⅱ)求异面直线PC

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°,(Ⅰ)证明AD⊥平面PAB;(Ⅱ)求异面直线PC

题型:天津高考真题难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°,(Ⅰ)证明AD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
(Ⅲ)求二面角P-BD-A的大小。

答案
(Ⅰ)证明:在△PAD中,由题设PA=2,PD=2
可得
于是AD⊥PA,
在矩形ABCD中,AD⊥AB,又PA∩AB=A,
所以AD⊥平面PAB。
(Ⅱ)解:由题设,BC∥AD,
所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角,
在△PAB中,由余弦定理,得

由(Ⅰ)知AD⊥平面PAB,PB平面PAB,
所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,
于是△PBC是直角三角形,

所以异面直线PC与AD所成的角的大小为。 (Ⅲ)解:过点P作PH⊥AB于H,过点H作HE⊥BD于E,连结PE,
因为AD⊥平面PAB,PH平面PAB,
所以AD⊥PH,又AD∩AB=A,
因而PH⊥平面ABCD,故HE为PE再平面ABCD内的射影,
由三垂线定理可知,BD⊥PE,
从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角。
由题设可得,



于是在Rt△PHE中,
所以二面角P-BD-A的大小为
举一反三
如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是
[     ]
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
题型:辽宁省高考真题难度:| 查看答案
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点A1在底面ABCD内的射影恰好是点B,若AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=60°,则异面直线A1B和B1C所成角为 [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:贵州省模拟题难度:| 查看答案
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,DC中点,则直线MC与D1N所成角的余弦值为
[     ]

A.
B.
C.
D.

题型:0128 模拟题难度:| 查看答案
已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E在棱AA1上,且AA1=2AE,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为[     ]
A、
B、
C、
D、
题型:模拟题难度:| 查看答案
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,若AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:0124 模拟题难度:| 查看答案
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