正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点． (1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)若点E为AO的中点，求证：

题型：不详难度：来源：

正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知AB＝A₁A，D为C₁C的中点，O为A₁B与AB₁的交点．
 
(1)求证：AB₁⊥平面A₁BD；
(2)若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A₁BD.

答案

（1）见解析（2）见解析

解析

证明：(1)连结DA、DB₁、DO.
∵AB＝A₁A，D为C₁C的中点，
而DB₁＝，DA＝，∴DB₁＝DA.
又O是正方形A₁ABB₁对角线的交点，∴DO⊥AB₁.
又A₁B⊥AB₁，A₁B∩DO＝O，∴AB₁⊥平面A₁BD.
(2)取A₁O的中点F，在△A₁OA中，
∵E是OA中点，∴EF∥= AA₁.
又D为C₁C的中点，∴CD∥= AA₁.
∴EF∥=CD，故四边形CDFE是平行四边形．∴CE∥DF.
又DF平面A₁BD，CE平面A₁BD，∴EC∥平面A₁BD.