试题分析:⑴取AB的中点O,连接PO,因为PA=PB,则PO⊥AB, 又∵ 平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO平面PAB, ∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AD, 2分 而AD⊥AB,PO∩AB=O,∴AD⊥平面PAB,∴AD⊥PB。 4分 ⑵过O作AD的平行线为x轴,以OB、OP所在直线分别为y、z轴,建立如图的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),D(2,-1,0),B(0,1,0),C(2,1,0),
=(2,-1,-2),=(0,2,0),cos<,>==-, 即异面直线PD与AB所成角的余弦值为。 8分 ⑶易得平面PAB的一个法向量为n=(1,0 ,0)。 设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,z),由⑵知=(2,-1,-2),=(0,-2,0),则,即,解得x=z, 令x=1,则m=(1,0,1), .10分 则cos<n,m>==, 即平面PAB与平面PCD所成锐二面角的大小为。 .12分 点评:空间各种角问题最终都可以转化为线线角求解,可用空间向量的数量积及其夹角余弦公式求解。 |