在图一所示的平面图形中,是边长为 的等边三角形,是分别以为底的全等的等腰三角形,现将该平面图形分别沿折叠,使所在平面都与平面垂直,连接,得到图二所示的几何体,据

在图一所示的平面图形中,是边长为 的等边三角形,是分别以为底的全等的等腰三角形,现将该平面图形分别沿折叠,使所在平面都与平面垂直,连接,得到图二所示的几何体,据

题型:不详难度:来源:
在图一所示的平面图形中,是边长为 的等边三角形,是分别以为底的全等的等腰三角形,现将该平面图形分别沿折叠,使所在平面都与平面垂直,连接,得到图二所示的几何体,据此几何体解决下面问题.

(1)求证:;
(2)当时,求三棱锥的体积
(3)在(2)的前提下,求二面角的余弦值.
答案
(1)通过计算体积证明。
(2)二面角是钝二面角,.
解析

试题分析:(1)证明:如图,

分别取AC、BC中点M、N,连接FM,EN,MN,是全等的等腰三角形,,,又所在平面都与平面垂直,平面ABC,平面ABC,四边形EFMN是平行四边形,,又,,同理可得:,,故是边长为的正三角形,.···
过M作MQ于Q,解得MQ=,即为M到平面ABD的距离,由(1)可知平面MNEF平面ABD,E到平面ABD的距离为
.···
分别以NA、NB、NE所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
依题意得


是平面ADF的一个法向量,
则有,即
,得
又易知是平面ABD的一个法向量,
设二面角的平面角为

二面角是钝二面角,.···(12分)
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。利用向量则能简化证明过程,对计算能力要求高。解答立体几何问题,另一个重要思想是“转化与化归思想”,即注意将空间问题转化成平面问题。
举一反三
如图,已知为平行四边形,,点上,相交于.现将四边形沿折起,使点在平面上的射影恰在直线上.

(Ⅰ) 求证:平面
(Ⅱ) 求折后直线与平面所成角的余弦值.
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已知的二面角,点A,C为垂足,,BD,D为垂足,若AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________
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如图,三棱锥P-ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB

(1)求证:AB平面PCB;
(2)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。
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如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=

(1)求直线D1B与平面ABCD所成角的大小;
(2)求证:AC⊥平面BB1D1D.
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下列命题中假命题是
A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直
C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直
D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行

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