如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（I）证明：PB⊥CD；（II）求点A到平面P

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如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．
（I）证明：PB⊥CD；
（II）求点A到平面PCD的距离．

答案

（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点
∴OE⊥BD，∴PB⊥OE
∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD
∴PB⊥CD；
（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB
由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，
∵OD=

1

2

BD=

2

，OP=

PD2-OD2

=

2

∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD
∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD
∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD
∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离
∵OF=

1

2

PB=1
∴点A到平面PCD的距离为1．